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射影定理证明教程

来源:www.bodyshopcars.net 时间:2024-06-10 10:38:27 作者:认真教程网 浏览: [手机版]

目录:

射影定理证明教程(1)

什么是射影定理

  射影定理是线性代数中非常重要的一个定理,它的本质是将一个向量空间分解成直和的形,其中一个空间是另一个空间的补空间bodyshopcars.net。这个定理在很多领应用,比如在器学习中,可以用它来解决线性回归问题。

射影定理证明教程(2)

证明射影定理的步骤

  证明射影定理要以下几个步骤:

1. 定义投影映射

投影映射是指将一个向量映射到另一个向量上,使得原向量与目标向量之间的距离小。在线性代数中,我们通常使用内积来定义两个向量之间的距离,因此投影映射可以写成以下形

  $$\text{proj}_W(\mathbf{v}) = \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{w}_1 \rangle}{\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1 \rangle} \mathbf{w}_1 + \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{w}_2 \rangle}{\langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2 \rangle} \mathbf{w}_2 + \cdots + \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{w}_n \rangle}{\langle \mathbf{w}_n, \mathbf{w}_n \rangle} \mathbf{w}_n$$

其中,$W$ 是一个空间,$\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \cdots, \mathbf{w}_n$ 是 $W$ 的一组基,$\mathbf{v}$ 是一个向量。

  2. 定义交补空间

  交补空间是指与一个空间交的向量所组成的空间认_真_教_程_网。在线性代数中,我们通常使用内积来定义两个向量之间的交关系,因此交补空间可以写成以下形

$$W^\perp = \{\mathbf{v} \in V | \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0, \forall \mathbf{w} \in W\}$$

  其中,$W$ 是一个空间,$V$ 是一个向量空间。

3. 证明射影定理

  射影定理的核心是将一个向量空间分解成直和的形,其中一个空间是另一个空间的补空间。具体来说,射影定理可以写成以下形

  $$V = W \oplus W^\perp$$

  证明射影定理的关键是要证明 $W \cap W^\perp = \{\mathbf{0}\}$,也就是说,$W$ 和 $W^\perp$ 中只零向量是共同拥的。这可以通过以下步骤证明:

  - 假设存在一个非零向量 $\mathbf{v}$ 同时属于 $W$ 和 $W^\perp$,即 $\mathbf{v} \in W$ 且 $\mathbf{v} \in W^\perp$来源www.bodyshopcars.net

  - 因 $\mathbf{v} \in W$,所以可以将 $\mathbf{v}$ 投影到 $W$ 上,得到一个向量 $\mathbf{w} = \text{proj}_W(\mathbf{v})$。

  - 因 $\mathbf{v} \in W^\perp$,所以 $\mathbf{v}$ 与 $W$ 中的任意向量都交。特别地,$\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 交。

  - 但是,根据投影映射的定义,$\mathbf{w}$ 是由 $W$ 中的向量线性组合而成的,因此 $\mathbf{v}$ 与 $W$ 中的所向量都交,包括 $\mathbf{w}$认.真.教.程.网。这与 $\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 交的事实矛盾。

  - 因此,假设不成,即 $W \cap W^\perp = \{\mathbf{0}\}$。

  根据上述证明,我们可以得到 $V = W + W^\perp$。另一方面,对于任意 $\mathbf{v} \in V$,我们可以将它投影到 $W$ 上得到一个向量 $\mathbf{w} = \text{proj}_W(\mathbf{v})$,然后将 $\mathbf{v} - \mathbf{w}$ 投影到 $W^\perp$ 上得到一个向量 $\mathbf{w}^\perp = \text{proj}_{W^\perp}(\mathbf{v} - \mathbf{w})$来源www.bodyshopcars.net。因此,我们可以将任意向量 $\mathbf{v}$ 写成 $\mathbf{v} = \mathbf{w} + \mathbf{w}^\perp$ 的形,其中 $\mathbf{w} \in W$,$\mathbf{w}^\perp \in W^\perp$。

  综上所述,我们证明了射影定理,即 $V = W \oplus W^\perp$。

总结

射影定理是线性代数中非常重要的一个定理,它将一个向量空间分解成直和的形,其中一个空间是另一个空间的补空间。证明射影定理要定义投影映射和交补空间,并证明 $W \cap W^\perp = \{\mathbf{0}\}$bodyshopcars.net终,我们得到了 $V = W \oplus W^\perp$ 的结论。

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